పదార్థాల పరిచయం: ప్రకృతి మరియు లక్షణాలు (భాగం 1: పదార్థాల నిర్మాణం)

ప్రొఫెసర్ ఆశిష్ గార్గ్

డిపార్ట్ మెంట్ ఆఫ్ మెటీరియల్ సైన్స్ అండ్ ఇంజినీరింగ్

ఇండియన్ ఇన్ స్టిట్యూట్ ఆఫ్ టెక్నాలజీ, కాన్పూర్

ఉపన్యాసం – 07

బ్రవైస్ జాలక

స్ఫటికాలలో సౌష్టవం

ఈ ఉపన్యాసంలో, మేము బ్రవైస్ జాలకలను మరియు స్ఫటికాలలో సౌష్టవాన్ని ప్రవేశపెట్టడం గురించి చర్చించబోతున్నాము. కాబట్టి, నేను మీకు క్లుప్తంగా పునశ్చరణ ఇస్తాను. మేము చివరి తరగతిలో ఆదిమ, ఆదిమేతర జాలకాల గురించి చర్చించాము. మోటిఫ్ లేదా ఆధారం ఏమిటి? మరియు పరమాణువులు, అణువులు లేదా మోటిఫ్ యొక్క సాపేక్ష దృక్పథం మీకు ఉండే ఆదిమ యూనిట్ల రకాన్ని ఎలా నిర్ణయిస్తుంది. ఇది ఆదిమ జాలకం యొక్క నిర్వచనాన్ని అనుసరించాలి, అంటే ఆదిమ యూనిట్ సెల్ లోపల, ఇది పునరావృతం చేయగల యూనిట్ గా ఉండాలి, ఎలాంటి అంతరాలు లేదా నిలిపివేతలు ఉండకూడదు, మరియు ఇది పునరావృతం కావాలి. కాబట్టి, మీరు ఒకదానితో మరొకటి సంబంధించి అణువుల దృక్పథాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవాల్సిన అతి చిన్న కణాన్ని ఎంచుకుంటే, అది పునరావృతం అయ్యేవిధంగా ఉండాలి. ఇది సంబంధం ఉన్న అన్ని జాతులకు ఒకే విధమైన పరిసరాలను కలిగి ఉంది.

(స్లైడ్ సమయాన్ని రిఫర్ చేయండి: 01:28)

కాబట్టి, నేను ఇప్పుడు తదుపరి అంశానికి వెళ్ళనివ్వండి. 3-డిలో 7 స్ఫటిక వ్యవస్థలు మరియు 14 బ్రవాయిస్ జాలకజాలాలు ఉన్నాయి. అంతేకాక, ఒక ఘన వ్యవస్థ విషయంలో, ముఖ కేంద్రిత క్యూబిక్ లేదా శరీర కేంద్రిత ఘన జాలకం వంటి ప్రతి ఆదిమ ేతర జాలకం జాలకం యొక్క సంఖ్యను బట్టి ఆదిమ జాలకాల సంఖ్యను కలిగి ఉందని మేము చూశాము. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఒక శరీర కేంద్రిత క్యూబిక్ రెండు జాలక బిందువులను కలిగి ఉంటుంది, అంటే ఇది రెండు ఆదిమ ఘన జాలకాలకు సమానం. అదే విధంగా, ముఖ కేంద్రిత ఘన జాలకం నాలుగు జాలక బిందువులను కలిగి ఉంటుంది, మరియు ఇది నాలుగు ఆదిమ జాలకాలకు సమానం. కాబట్టి, ఆదిమ జాలకాలలోపల ఆదిమ జాలకాలను సులభంగా గీయగలగాలి.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 02:40)

ఉదాహరణకు, ఒక ఆదిమ జాలకం, ఇది 2డిలో ఉంది. దీనిలో, మనకు ఉన్నది పరమాణువుల శ్రేణి. మొదటి ఆదిమ యూనిట్ సెల్ ని మనం గీశాం. ఒక₁ ఆదిమ జాలక వాహకం, ఒక₂ అనేది ఒక ఆదిమ జాలకం. కానీ, ఆదిమ కణం యొక్క ఎంపిక ప్రత్యేకమైనది కాదు, ముఖ్యంగా మీరు ఒక ఆదిమ యూనిట్ కణానికి దారితీసే ఏదైనా ఆదిమ వాహకాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. కాబట్టి, మీరు ఆదిమ జాలక వాహకాలను కలిగి ఉన్నారు ఒక₁', ఒక₂'అయితే, ఇది A2 వలే కాదు, ఒక₂' ఈ పరమాణువు నుండి ఆ పరమాణువు వరకు ఉంది, కానీ ఇది ఇప్పటికీ మీకు ఒక ఆదిమ యూనిట్ సెల్ ను ఇస్తుంది, ఈ రెండు కణాల వైశాల్యం ఒకదానితో మరొకటి సమానంగా ఉంటుంది. మీరు మూడవ దానిలో చూడవచ్చు, మరియు మీరు చెబుతారు ఒక₁", మరియు ఒక₂". కాబట్టి, ఆదిమ జాలక వాహకాల ఎంపిక, మీరు బహుళ ఎంపికలను కలిగి ఉండవచ్చు, మీరు ఆ రెండు వెక్టర్లు లేదా 3-డిలో ఆ మూడు వెక్టర్ల నుండి ఒక ఆదిమ యూనిట్ సెల్ ను తయారు చేయగలిగినంత వరకు ఇది స్థిరమైన ఎంపిక కాదు. అదేవిధంగా, ఈ సందర్భంలో, మీరు ఒక₁'''మీరు గీస్తున్న యూనిట్ సెల్ ఇది ఆదిమేతర యూనిట్ సెల్ అని మీరు చూడవచ్చు, ఇది పెద్దది.

అదేవిధంగా, ఆదిమేతర యూనిట్ కణాలకొరకు కూడా బహుళ ఎంపికలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, మీరు ఒక ఆదిమేతర యూనిట్ సెల్ ను కలిగి ఉండవచ్చు, మరియు ఇది జాలక వాహకం కావచ్చు, లేదా అది జాలక వాహకం కావచ్చు. కాబట్టి, నేను నొక్కి చెప్పడానికి ప్రయత్నిస్తున్నది ఏమిటంటే, మీరు ఒక నిర్దిష్ట ఆదిమ యూనిట్ సెల్ ను ఎంచుకున్నప్పుడు, ఆదిమ యూనిట్ సెల్ వెక్టర్ల ఎంపిక బహుళమైనది. ఆ వెక్టర్లు ఎల్లప్పుడూ ఒకే రకమైన అదే రకమైన ఆదిమ యూనిట్ సెల్ ను మీకు ఎందుకు ఇచ్చాయి?

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 04:38)

బిసిసిలో, మొదటి సెట్,

ఇప్పటికీ నిర్మించబడిన ఆదిమ జాలకంలో ఈ వెక్టర్ల సమితి లేదా మీరు ప్రత్యామ్నాయంగా వెక్టర్ల సెట్ ను కలిగి ఉండవచ్చు, ఇది బిసిసిలో మరింత సౌకర్యవంతంగా కనిపిస్తుంది, మీరు ఎంచుకునేది సౌష్టవంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, కానీ బహుళ అవకాశాలు ఉన్నాయి. ఇది బిసిసి యూనిట్ సెల్. కాబట్టి, మేము అక్కడ ఉన్న పరమాణువులను తనిఖీ చేస్తున్నాము. ఇది మధ్యలో ఉంది, ఇది కుడి వైపున ఉంది, ఇది దిగువ పరమాణువు, మరియు ఇది ఎక్కడో ప్రతికూలంగా ఉన్న పరమాణువు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మీరు ఇక్కడ నుండి ఇక్కడకు ఎంచుకోవచ్చు, ఇది ఒక జాలక వాహకం కావచ్చు. కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, మేము ఈ అంశాన్ని ఒక మూలంగా తీసుకుంటున్నాము, అందుకే మేము అక్కడ ఉన్న పరమాణువును ఎంచుకున్నాము. కాబట్టి, ఇది వై, ఇది ఎక్స్ అని మీరు చూడవచ్చు, మరియు ఇది జడ్. కాబట్టి, ఈ వెక్టర్ ఈ దిశలో సగం, వై లో సగం; సగం జడ్, ఇది ఈ దిశ మరియు తరువాత సగం ఎక్స్. కాబట్టి, ఇది మీకు సరిగ్గా ఎదురుగా ఉంది. కాబట్టి, ఈ దిశలో ఈ పరమాణువు కణం లోపల ఉంటుంది, మరియు ఇది మీ ముందు ఉన్న కణం వెలుపల ఉంటుంది, ఇది యూనిట్ సెల్ లోని మధ్య పరమాణువుకు కుడివైపున ఉంటుంది, ఇది యూనిట్ సెల్ లోని మధ్య పరమాణువు యొక్క అడుగుభాగం. కాబట్టి, మీరు సెట్ చూడవచ్చు,

మరియు ఈ వెక్టర్లను సరిచేయడం ద్వారా, మీరు యూనిట్ సెల్ ను ఇలాంటిదిగా చేయవచ్చు. కాబట్టి, మీకు జాలకం ఉంది, మరియు మీకు జాలక అనువాదం ఉంది. ఇప్పుడు మీరు వాటిని కనెక్ట్ చేస్తారు, మరియు మీరు మీ వద్ద ఉన్నదానితో ముగించాలి. కాబట్టి, ఇది ఒక ఆదిమ కణం, మరియు పరిమాణం ఒక ఆదిమ యూనిట్ కణ పరిమాణంలో సగం.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 07:53)

ఇది ఎఫ్ సిసి విషయంలో, ఇక్కడ మీరు వెక్టర్లను కలిగి ఉండవచ్చు. కాబట్టి, దీనిని ఒక మూలంగా ఎంచుకోండి; ఇది a1, a2, మరియు ఇది a3. కాబట్టి, మూల పరమాణువులు మూడు ముఖ కేంద్ర పరమాణువులకు కనెక్ట్ చేయటము ఫలితంగా,

మీరు మీ మూలాన్ని భిన్నంగా ఎంచుకుంటే, మీ వెక్టర్లు మరియు సంకేతాలు మారతాయి. కాబట్టి, మీరు ఈ మూడు వెక్టర్లను ఉపయోగించడం నుండి కనెక్ట్ చేస్తే, మీరు ఈ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని లేదా ఘనం లోపల సమాంతర పైప్ డ్ ను పొందుతారు. ఇది ఆదిమ కణం. ఆదిమ ేతర యూనిట్ సెల్ ఆదిమాన్ని కలిగి ఉంటుంది? అతి చిన్న జాలక అనువాద వాహకం ఏది? మనం చూసేది అదే, కాబట్టి, ఇది ఆదిమ జాలక వాహకం, ఇది ఆదిమ జాలక వాహకం ఎందుకంటే ఒక ఆదిమ కణం రెండు ఆదిమ కణాలతో తయారు చేయబడింది. కాబట్టి, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఆదిమ ేతర కణంలోపల ఒక ఆదిమ జాలక వాహకాన్ని ఎంచుకోవచ్చు.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 10:01)

నాన్-ప్రిమిటివ్ జాలకం వెక్టర్ ఒక ఘనం అవుతుంది. కాబట్టి, ఆదిమేతర జాలక వాహకం ఇది, అది మరియు అది, కానీ ఇవి అతి చిన్న జాలక అనువాద వాహకం, ఇది ఆదిమ జాలక వాహకాలను కలిగి ఉంటుంది.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 10:18)

కాబట్టి, నేను ఇంతకు ముందు తరగతులలో ఒకదానిలో నేను మిమ్మల్ని 2-డి జాలకాలను గీయమని అడిగాను, అవి సాధ్యమవుతాయి. కాబట్టి, మీరు మొదటిదానిని చూసే అవకాశాలు చాలా తక్కువ, ఒక కు సమానం కాదు బి మరియు θ 90 కి సమానం కాదు⁰. మిగిలిన రెండు అవకాశాలు ఒక కు సమానం కాదు బి, కానీ θ 90 కి సమానం⁰మరియు మూడవది, ఒక కు సమానం కాదు బిమరియు θ 90 కి సమానం⁰, కానీ మీకు పరమాణువు ఉంది ఒక మధ్యలో కాబట్టి, ఇది దీర్ఘచతురస్రాకార కేంద్రిత జాలకం. కాబట్టి, ఇది ఒక వక్రజాలకం, ఇది దీర్ఘచతురస్రాకార మరియు కేంద్రీకృతమైనది, ఇది షడ్భుజి ఒక కు సమానం బి, θ 120 కి సమానం⁰మరియు తరువాత మీకు చతురస్ర జాలకం ఉంటుంది, అక్కడ ఒక కు సమానం బి మరియు θ 90 కి సమానం⁰.

కాబట్టి, ఇవి 2డిలో ఉన్న అవకాశాలు, బ్రవైస్ జాలకానికి ఐదు అవకాశాలు. కాబట్టి, ఇప్పుడు మేము ఆదిమ మరియు ఆదిమ ేతర యూనిట్ సెల్ గురించి మాట్లాడుతున్నాము, మరియు ఆదిమ యూనిట్ కణాల యొక్క బహుళ అవకాశాలు ఉన్నాయని కూడా మేము కీ చెప్పాము. ఏర్పాట్ల రకాన్ని బట్టి ఒక చతురస్రాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు, మరియు మీరు సమాంతర చతుర్భుజాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు. అందువల్ల, బహుళ అవకాశాలు కల్పించబడతాయి; ఇవి యూనిట్ సెల్ కు ఒకే ఒక జాలక బిందువును కలిగి ఉంటాయి. ప్రశ్న ఏమిటంటే, మీరు ఒక ప్రమాణాన్ని ఎలా నిర్వచచేస్తారు? అందువల్ల, మీరు బహుళ అవకాశాలతో ముగియరు. మీరు వాటిని కొన్ని ప్రమాణాలకు ఎలా సరిపోతారు, మరియు ఈ స్ఫటిక వ్యవస్థ వ్యవస్థ అక్కడే ఏర్పడింది. జాలక పరామితులు మరియు వాటి పరస్పర సంబంధాల ఆధారంగా స్ఫటిక వ్యవస్థ ప్రకారం వర్గీకరణ.

కాబట్టి, మీరు ఈ ప్రమాణాన్ని ఎలా పొందుతారు? సౌష్టవం ఆధారంగా మీరు దీనిని చూడవచ్చు. కాబట్టి, టెట్రాగాన్ తో పోలిస్తే ఘనం మరింత సౌష్టవంగా ఉంటుందని మీరు సహజంగా ఉండవచ్చు ఎందుకంటే ఒక ఘనం మూడు సమాన భుజాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇది మొత్తం 90⁰ కోణాలు, మరియు టెట్రాగాన్ మొత్తం 90 కలిగి ఉంది⁰ కోణం, కానీ ఇది ఒక వైపును కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఇతర రెండింటితో పోలిస్తే భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ప్రమాణం ఏమిటి అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుందా? ఈ ప్రమాణాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి కొన్ని స్ఫటికాగ్రఫీ సౌష్టవ పరిగణనలు అనుసరించాలి. మేము ఇప్పుడు రాబోయే కొన్ని నిమిషాల్లో ఆ సౌష్టవ ప్రమాణాన్ని తీసుకుంటాము.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 13:10)

కాబట్టి, మనం ఇప్పుడు క్రిస్టల్స్ లో సౌష్టవం అని పిలువబడే దానితో ప్రారంభిస్తాము, మరియు మనం ఎందుకు అర్థం చేసుకోవాలి? కాబట్టి, స్ఫటిక వ్యవస్థ వర్గీకరణ మరియు బ్రవైస్ లాటిస్ ఎంపిక యొక్క ప్రాతిపదిక వెనుక ఉన్న తర్కాన్ని మనం అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఇది చాలా సంక్లిష్టమైన అంశం. కాబట్టి, దురదృష్టవశాత్తు, ఈ కోర్సులో, స్ఫటికాకార యొక్క పూర్తి అంశాలను పొందడానికి మాకు తగినంత సమయం లేదు, కానీ దానిని ఎలా ఎదుర్కోవాలో ఒక సరళమైన ప్రాతిపదికను స్థాపించడానికి మేము ప్రయత్నిస్తాము. కాబట్టి, సౌష్టవం అంటే ఏమిటి?

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 14:09)

అదే మొదటి ప్రశ్న. కాబట్టి, ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఏమిటంటే, సౌష్టవం అనేది ఒక ఆపరేషన్, ఇది ఒక వస్తువును దానిలోకి తీసుకువస్తుంది, ఇది అసలు స్థితి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, నేను ఈ చతురస్రాన్ని తీసుకుంటే, నేను దానిపై చేయగల సౌష్టవ ఆపరేషన్ ఏమిటి, తద్వారా అది అలాగే కనిపిస్తుంది. ఒక సంభావ్య ఎంపిక ఏమిటంటే, నేను దీనిని చతురస్రం యొక్క కేంద్రంగా ఎంచుకుంటే, మరియు నేను దానిని 90 గా మారుతాను⁰ ఈ అక్షం చుట్టూ భ్రమణం. కాబట్టి, అక్షం కాగితం యొక్క తలానికి లంబంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, నేను 90 దరఖాస్తు చేస్తే⁰ రొటేషన్, తరువాత ఇది మళ్లీ అదే కుడివైపున కనిపిస్తుంది, ఇది తిరిగి చతురస్రాకారానికి వస్తుంది. కాబట్టి, ఇది 90⁰ భ్రమణం. కాబట్టి, దీనిని రొటేషన్ సౌష్టవం అని అంటారు.

అదేవిధంగా, మీరు త్రిభుజం, సమాన త్రిభుజాన్ని తీసుకున్నట్లయితే, దానిపై మీరు ఎలాంటి ఆపరేషన్ చేయాల్సి ఉంటుంది? కాబట్టి, ఇది త్రిభుజం యొక్క కేంద్రం, మరియు నేను 120 అందిస్తాను⁰ భ్రమణం. కాబట్టి, ఇది ఒకే ఆకారంలో కనిపిస్తుంది. కాబట్టి, వస్తువును ఒకే ఆకారంలోకి తీసుకురావడానికి మీరు చేయగల కార్యకలాపాలకు ఇవి ఉదాహరణలు మాత్రమే. కాబట్టి, మనం ఎందుకు అర్థం చేసుకోవాలి ఎందుకంటే వాటి సౌష్టవం జాలకాలను వర్గీకరించుతుంది.

కాబట్టి, ఇది ఈ భ్రమణం మాత్రమే కాదు, ఇది ఒక సౌష్టవ మూలకం. బహుళ సౌష్టవ మూలకాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, ఈ సౌష్టవ అంశాలు ఏమిటి? కాబట్టి, నేను చెప్పినట్లుగా, సౌష్టవం అనేది ఒక ఆపరేషన్, మీరు ఒక వస్తువుపై ప్రదర్శన చేసినప్పుడు, మీరు స్వీయ యాదృచ్ఛిక స్థితికి తీసుకువస్తారు. కాబట్టి, ఈ సౌష్టవ ఆపరేషన్ల యొక్క సౌష్టవ ఆపరేషన్ల రకాలు ఏమిటో మనం ఇప్పుడు చూద్దాం?

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 16:31)

కాబట్టి, సౌష్టవ కార్యకలాపాల రకాలు, మొదటిది అనువాద సౌష్టవం ఎందుకంటే మీరు కేవలం 1-డి లాటిస్ నుండి ప్రారంభిస్తే. కాబట్టి, 1-డి జాలకం యొక్క ఈ కేసు ఉంటే, మరియు మీరు ఇక్కడ ఒక పరమాణువును ఉంచితే, అనుకుందాం. కాబట్టి, మీరు ఈ బిందువు నుండి ఆ బిందువుకు ఒక వెక్టర్ టి ద్వారా, 1-డిలో అనంతమైన బిందువుల శ్రేణిలో కదిలితే, అప్పుడు ఈ జాలక అనువాద వెక్టర్ టి, స్వీయ యాదృచ్ఛిక స్థితికి తెస్తుంది ఎందుకంటే ఈ బిందువు ఆ బిందువును పోలి ఉంటుంది, అప్పుడు ఇది అనువాదం. కాబట్టి, ఇది మనం అనువాద సౌష్టవం అని పిలిచే సందర్భం, మరియు ఇది 1-డిలో నిర్వచించే సౌష్టవం. కాబట్టి 1-డిలో, మీకు అనువాద సౌష్టవం ఉండాలి.

ఇప్పుడు, నేను దాని చుట్టూ మోటిఫ్ మార్చితే, కాబట్టి, ఇది మళ్ళీ 1-డిలో ఉంది. మోటిఫ్ ను అక్కడ ఒక పరమాణువుగా ఉంచడానికి బదులుగా, నేను మోటిఫ్ ను ఇలా ఉంచుతాను. కాబట్టి, ఇక్కడ నాకు ఏమి ఉంది? నాకు ట్రాన్స్ లేషన్ టి ఉంది, అయితే నాకు మిర్రర్ సౌష్టవం కూడా ఉంది. మీరు ఈ కొద్దిగా చెత్త చేయవచ్చు. మీరు దీన్ని చేస్తే అద్దం అదృశ్యం చేయవచ్చు. కాబట్టి, ఇది చీకటిగా మారుతుందని అనుకుందాం. కాబట్టి, అద్దం సరిగ్గా అదృశ్యమైంది, కానీ ఇప్పుడు మోటిఫ్ ఉన్నందున అది ఇప్పటికీ ఉంది. కాబట్టి, మోటిఫ్ ప్రారంభంలో ఎ, మరియు ఇప్పుడు ఇది ఎఎ, ఇప్పుడు మోటిఫ్ ఎబి. 1-డిలో, మీరు ట్రాన్స్ లేషన్ మరియు మిర్రర్ లేదా రిఫ్లెక్షన్ వంటి ఆపరేషన్ లను కలిగి ఉండవచ్చు. అవి 1-డి, 2-డి, 3-డిలకు వర్తిస్తాయి, అయితే 1-డిలో సాధ్యమయ్యే రెండు కేసులు మాత్రమే ఈ 2. కాబట్టి, మనం కొంచెం సంక్లిష్టంగా మారదాం.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 20:18)

2-డిలో, రొటేషన్ ఎలిమెంట్ జోడించబడింది, ఉదాహరణకు, నేను ఈ జాలకాన్ని తీసుకున్నట్లయితే, దానిని స్వీయ యాదృచ్ఛికంగా తీసుకురావడానికి నేను దానిపై అందించాల్సిన భ్రమణం ఏమిటి? నేను దానిని 180 నాటికి తిప్పాలి⁰. కాబట్టి, నేను 180 నాటికి ఈ బిందువు చుట్టూ తిరుగుతాను⁰, ఇది అదే ఆకారం గా మారుతుంది. భ్రమణ సౌష్టవం విషయంలో, దీనిని మడత ఎన్-ఫోల్డ్ సౌష్టవంగా నిర్వచిస్తాం.

కాబట్టి, ఎన్ సౌష్టవం యొక్క మడతల సంఖ్య, మరియు ఇది ఏమిటి? 360కి సమానం⁰ థెటా లేదా భ్రమణ కోణం ద్వారా విభజించబడింది. కాబట్టి, ఇది భ్రమణ కోణం. కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, ఏది ఉంటుంది? ఇది 2 అవుతుంది. ఇప్పుడు, దీని నుంచి మీరు 2-డి లాటిస్ ని ఎలా తయారు చేయగలరు? సమబాహు త్రిభుజం విషయంలో θ 120కి సమానం అవుతుంది⁰θ 90కి సమానం అయితే 3 కి సమానం అవుతుంది.⁰, ఎన్ 4 కు సమానం.

అంతేకాక, మీరు కొన్ని పువ్వులను చూస్తే, అది చాలా సౌష్టవమైనది కాదు, కానీ నాకు నివ్వండి. కాబట్టి, కొన్ని పువ్వులకు 5 రేకులు మెరుగ్గా ఉంటాయి. కాబట్టి, మీకు ఇక్కడ 5 రేకులు ఉన్నాయి. కాబట్టి, ఇక్కడ మీరు 72 భ్రమణాన్ని అందించాలి⁰, 5-రెట్లు. మీరు ఐస్ ఫ్లేక్స్ ను చూస్తే లేదా మీరు ఇలాంటి వాటిని చూస్తే, అవి 6 రెట్లు సౌష్టవం. కాబట్టి, ఇక్కడ మీరు 60 భ్రమణాన్ని అందించాలి⁰మరియు ఈ ఎన్ 6 కు సమానం అవుతుంది, మరియు మీకు 45 ఉన్నట్లయితే మీరు ఎనిమిది రెట్లు సౌష్టవం వంటి వాటిని కూడా కలిగి ఉండవచ్చు.⁰ కొన్ని వస్తువుల విషయంలో రొటేషన్

కాబట్టి, 7-రెట్లు సౌష్టవం లేదు, 13 రెట్లు; 11 రెట్లు, అవన్నీ ఇక్కడ లేవు. కాబట్టి, మరియు నేను దాని వివరాలను ఎందుకు పొందలేను అనే గణిత ఆధారం ఉంది, కానీ 7, 11 మీరు ఇక్కడ చూడవచ్చు, 9 తప్పిపోయింది, 9 రెట్లు లేదు; 13 రెట్లు లేదు. క్రిస్టలోగ్రఫీలో 5 రెట్లు కూడా అనుమతించబడదు ఎందుకంటే ఇది స్థలాన్ని నింపదు.

పాయింట్ చూడండి, మీరు ఆ డిగ్రీ యొక్క భ్రమణాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు, కానీ ఒక వస్తువు స్థలాన్ని నింపకపోతే. స్ఫటికీకరణలో, ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, స్ఫటిక స్ఫటిక పదార్థాలలో, ఆ ఆపరేషన్ స్థలాన్ని నింపాలి. కాబట్టి, 5 రెట్లు ఉన్న వస్తువు స్థలాన్ని నింపదు. కాబట్టి, ఫలితంగా, స్ఫటిక పదార్థాలు 5-రెట్లు సౌష్టవాన్ని చూపించవు. మరొక తరగతి పదార్థం ఉంది, ఇది 5-మడత సౌష్టవాన్ని క్వాసీ క్రిస్టలిన్ పదార్థాలు అని పిలుస్తారు, కానీ అవి సమతారహిత పదార్థాలు.

కాబట్టి, అదే విధంగా, ఇతర సౌష్టవాలను కూడా ఆ పదార్థాలు 10-రెట్లు సౌష్టవం లేదా 9-రెట్లు సౌష్టవం ద్వారా చూపిస్తాయి, కొన్ని పదార్థాలు వాటిని చూపించగలవు, కానీ సాధారణంగా స్ఫటిక పదార్థాలలో కనిపిస్తాయి. కాబట్టి, స్ఫటిక పదార్థాల విషయంలో, మనకు ఎక్కువగా ఆసక్తి ఉన్నది ఎన్-ఫోల్డ్ 2-ఫోల్డ్, 3-ఫోల్డ్, 4-ఫోల్డ్, మరియు 6-ఫోల్డ్ మరియు 1-ఫోల్డ్ సౌష్టవం. కాబట్టి, ఇప్పుడు, నేను గీసిన ఈ జాలకానికి తిరిగి వద్దాం. కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో మీరు ఈ జాలకంలో చూడవచ్చు.

కాబట్టి, నేను ఈ బిందువు చుట్టూ భ్రమణాన్ని అందించినట్లయితే, అప్పుడు 2 రెట్లు భ్రమణం కూడా సాధ్యమేనా, 3 రెట్లు సాధ్యమేనా? 3 రెట్లు ఉండే అవకాశం లేదు. 4 రెట్లు సాధ్యమే. 6 రెట్లు, 5 రెట్లు సాధ్యం కాదు. కాబట్టి, దీనికి 2 మరియు 4 ఉన్నాయి. కాబట్టి, వాస్తవానికి, ఈ సమయంలో, ఇది 4 రెట్లు ఉంటుంది, కానీ ఈ పాయింట్ల వద్ద మీరు కూడా 2 రెట్లు కలిగి ఉండవచ్చు. అందువల్ల, మీరు ప్రతి బిందువును గరిష్ట సంభావ్య సౌష్టవం ద్వారా నిర్వచిస్తుంది. కాబట్టి, ఇక్కడ ఈ కేంద్రం, ఇది మీకు 4 రెట్లు అందించగలదు. కాబట్టి, ఇది మీకు 2-రెట్లు కూడా అందించగలిగినప్పటికీ, మీరు 4-మడతల ద్వారా చిత్రీకరించబడ్డారు, ఎందుకంటే 4-ఫోల్డ్ ఈ బిందువు చుట్టూ తిరగడం ద్వారా మీరు సాధించగల అధిక సౌష్టవం. కాబట్టి, అదే విధంగా ఈ బిందువుల చుట్టూ, ఇవి 2 పాయింట్లుగా చిత్రీకరించబడ్డాయి ఎందుకంటే అవి మీకు 4 రెట్లు ఇవ్వలేవు. అవి మీకు 2 రెట్లు మాత్రమే ఇవ్వగలవు. కాబట్టి, మీరు ఈ సౌష్టవ బిందువులను ఈ విధంగా జాలకంలో భ్రమణ సౌష్టవ బిందువులను చిత్రిస్తారు.

ఇప్పుడు, మీకు చతురస్ర జాలకం ఉంటే మరియు నేను తగినంత సౌష్టవమైన లేదా వృత్తాకారంగా ఉన్న మోటిఫ్ ను ఎంచుకుంటే, మీరు 2-మడత మరియు 4-మడతలను పొందుతారు, కానీ ఇప్పుడు మనం చెప్పనివ్వండి, జాలకం ఒక చతురస్రం, కానీ నేను ఈ త్రిభుజాల ద్వారా మోటిఫ్ ను భర్తీ చేస్తున్నాను. కాబట్టి, నేను ఇప్పుడు మోటిఫ్ మార్చాను. దీనికి 4 రెట్లు లేదా 2 రెట్లు సౌష్టవం ఉందా?

దీనికి 2 రెట్లు లేదు, లేదు దీనికి 4 రెట్లు లేదు. కాబట్టి, నేను ఇక్కడ నొక్కి చెప్పాలనుకుంటున్నాను, సౌష్టవంగా కనిపించే సంప్రదాయ నిర్వచనం ప్రకారం మనం వెళ్ళలేము. ఈ నిర్వచనాల సౌష్టవం ద్వారా మనం వెళ్ళాలి, ఇది చాలా నిర్దిష్టంగా చేస్తుంది. కాబట్టి, ఇది చతురస్ర గ్రిడ్ లాగా కనిపించినప్పటికీ, ఇది వాస్తవానికి చతురస్ర జాలకం కాదు ఎందుకంటే ఇది 4-మడతలను అనుసరించదు, దీనికి 4-మడత సౌష్టవం కూడా లేదు, ఇది 3-మడత సౌష్టవాన్ని కూడా కలిగి ఉండదు, ఎందుకంటే మీరు 3-మడతల సౌష్టవ ఆపరేషన్ చేస్తే, అది ఒకే ఏకైక ఆపరేషన్ గా ఉండదు, కాబట్టి ఇది కేవలం 1-మడత సౌష్టవాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. ఇది కేవలం 1-మడత సౌష్టవం, భ్రమణ సౌష్టవం మాత్రమే కలిగి ఉందని మీరు చూడవచ్చు. అందువల్లనే, స్ఫటికీకరణలో, ఘనం ఘనం కాకపోవచ్చు; ఒకవేళ అది ఘనానికి నిర్దిష్టమైన సౌష్టవ మూలకాలను కలిగి లేకపోతే, నేను కొద్ది కాలంలోనే వస్తాను. కాబట్టి, మనం ఇక్కడ గాలిద్దాం, మరియు మనం ఇప్పుడు తదుపరి ఉపన్యాసానికి తీసుకెళ్లవచ్చు.